Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de
correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que
satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.
Una función algebraica explícita es
aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la
variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma,
resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por
sustitución
f(x) = 5x – 2
Por otro lado en las funciones implícitas no es posible
obtener las imágenes de x por simple sustitución, por lo cual es necesario
efectuar operaciones:
5x – y – 2 = 0
Dentro de las funciones algebraicas podemos nombrar a las
funciones polinómicas. Dichas funciones tienen una gran aplicación en la
preparación de modelos que representan fenómenos reales, tales como la
distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta
cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su
comisión, etc. Etc. La regla de correspondencia de la función polinómica es un
polinomio. Si el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos
hablar de una función polinómica de grado n.
Llamamos a una función polinómica de grado n, si tiene la
forma :
en donde n es un entero positivo.
La función constante se define por medio
de la expresión:
F(x)= K
En esta función, k es un número real diferente
de cero.
Las funciones polinómicas de primer grado
e darían como:
f(x) = mx +n
Su gráfica sería una recta oblicua, que quedaría definida
por dos puntos de la función. A este tipo de función corresponderían los tipos
de funciones como, función afín, función lineal y función identidad.
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m sería la pendiente de la recta. La pendiente es la
inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Veamos un ejemplo:
La función lineal corresponde
a un polinomio de primer grado cuyo contradominio coincide con el dominio, o
sea con R. Su gráfica sería una línea recta donde m representa la pendiente de
ella, y k representa el punto donde ésta se intersecta con el eje y”. La
función lineal se definiría entonces como una expresión de la forma:
F(x)=mx+k
La función identidad tiene como propiedad, que a cada
argumento x del dominio le es correspondiente el mismo valor en el
contradominio, por lo cual este sería R”. La gráfica de esta función es la
recta que pasa por el origen y posee un ángulo de inclinación de 45°.
Observemos:
Las Funciones cuadráticas son funciones
polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Tienen la forma:
La función cúbica se define como polinomio
de tercer grado y tiene la siguiente forma:
Las funciones a trozos son funciones que
se definen por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Dentro de estas funciones encontraríamos lo que sería la función en
valor absoluto, la función parte entera de x, la función
mantisa y la función signo.
En las funciones racionales el criterio
viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio está formado por todos los números reales, a
excepción de los valores de x los cuales anulan el denominador.
No siempre se puede hacer uso de las funciones del tipo
algebraico, por esta razón se han desarrollado otro tipo de funciones,
las funciones trascendentes, las cuales se pueden clasificar en:
las trigonométricas y sus inversas y las logarítmicas y exponenciales. Una
función trascendente es entonces aquella cuya variable y contiene expresiones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones
trascendentes serían los siguientes:
En este capítulo nos proponemos precisar en términos matemáticos
el concepto y la definición de la relación. Asimismo, desarrollaremos distintas
propiedades de las relaciones que nos permitirán advertir que ciertas
relaciones referentes a cuestiones muy distintas pueden sin embargo tener
caracteres análogos. Por último, estudiaremos dos tipos de relaciones
especialmente importantes: las relaciones de equivalencia y de orden
RELACIONES
En la matemática, como en otras ciencias, constantemente se
habla de diversas relaciones entre dos objetos: en geometría se trata de
relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad
o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y
de inclusión. Por esto, es necesario formular la noción general de relaciones
entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una regla, fórmula o
propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto A de las materias que
puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los
créditos de las materias sin laboratorio, es decir:
A: {u, b, c, d, e} y B: {4, 5,6,7}
Es claro que los elementos de A quedan asociados con los
del conjunto B mediante la propiedad.
P(x, y) : "x tiene crédito y"
Es decir, una relación R consiste en todos los pares
ordenados (x, y) A x B tales que x tiene crédito y, Esto es, si en un semestre
determinado y para un cstutjrante cn particular queda establecido el siguiente
esquema (diagrama de Venn).
entonces la relación o correspondencia es el conjunto de
pares ordenados R: {(u,6), (b,5), (c,5), (e,7)} Nótese, que la materia d no
tiene ningún correspondiente en B, consideramos que la materia tiene
laboratorio y su crédito es mayor a los citados en B. Nótese también que la
relación establecida es sencillamente un subconjunto del producto cartesiano A
x B, es decir, R c A x B. En gráfico cartesiano se tiene:
Es claro que la relación establecida no es única ya que se
relaciones (correspondencias) entre los conjuntos A y B. Ahora consideremos los
conjuntos:
A: {1,2,3\ , B: {a, b, c} y RcAxB,
siendo R: {(1, b) ,
(2, b) , (3, c)}
DEFINICIÓN
Sean A y B dos conjuntos.
Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del
producto cartesiano A x B. Es decir:
R es una relación de A en B
Se dice que "x está relacionado con y por R" y se
escribe x R y sí (x, y) e R.
Si (x, y) É R, si puede escribir *ly , y se lee "x no
está relacionado con y por R".
Ejemplo: Sean A =
{1.2.3\ y B: {a, b} Entonces AxB : {(1, a), (1, b), (2. a), (2,b), (3, a), (3,
b)} luego. R: {(l.a). (2.b). (3. b)} es una relación de A en B, ya que R c AxB
En gráfico cartesiano se tien
DOMINIO, IMAGEN, RELACIÓN INVERSA
Si R c AxB es una relación de A en B. existen dos importantes
conjuntos asociados a esta relación: dominio e imagen de R. A continuación, se
darán las definiciones de estos conjuntos y de la relación inversa.
DOMINIO DE R El dominio de R. que se escribe D(R). es el
conjunto de elementos en A que están relacionados con algún elemento en B. En
otras palabras. el D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los
primeros elementos de los pares (x. y) e R. Es decir
D(R):{xeA/(x.y)eR}
IMAGEN DE R El Imagen (rango o recorrido) de R. que se
escribe I(R). es el conjunto de elementos en B que son los segundos elementos
de los pares (x. y) c R. esto es. todos los elementos en B que están
relacionados con algún elemento en A. Es decir
I(R): {y e B/(x.y) e R}
Ejemplo: Sean los conjuntos A: fl.3.5.7.9) -v B:{2.4.6.8)
Se define la siguiente relación R (divisor) de A en B: xR1'exly
Ejemplo: Sean los conjuntos A: {1,2,3,4,5\ y B: {5,
6,7,8,9} Se define la siguiente relación R (mayor que) de A en B: xRy<+x>y la
relación es un subconjunto de AxB y está formado por los pares ordenados (x, y)
tales que x>y. Pero ningún elemento de A es mayor que ninguno de B. En este
caso se obtiene la relación varía $. Es decir
RELACION INVERSA
La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en B
es la relación R'l de B en A que se define como
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Una relación R definida en un conjunto A es de
orden total si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplo 8.25: si
A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación “ser menor o igual que”, entonces R es de
orden total
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
Una relación tiene la propiedad reflexiva, si
todo elemento está relacionado consigo mismo. Si no todos los elementos del
conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es
reflexiva o es irreflexiva.
RELACIONES REFLEXIVAS
Se dice que una relación R definida en
A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo;
es decir, si todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con
componentes iguales
RELACIONES ARREFLEXIVAS
Una relación binaria: R, entre los elementos de un
conjunto: A, es una relación irreflexiva, también llamada:
antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado
consigo mismo: Para todo a que pertenezca a A, (a,a) no pertenece R.
RELACIONES SIMETRICAS
Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica
cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces
ese otro también está relacionado con él, a través de la misma "R".
Es lo mismo tener (a,b) que tener (b,a).
RELACIONES NO SIMÉTRICAS
Una relación R, definida en un conjunto A, es no simétrica
si existe algún par (x, y) en la relación, pero su transpuesta (y, x) no
pertengce a ella. Es decir,
RELACIONES ASIMÉTRICAS
Se dice que una relación R en un conjunto A es asimétrica
si un par (x, y) pertenece a la relación, entonces su transpuesta (y, x) no
pertenece a ella. Es decir,
En este capítulo se estudian los conceptos básicos de la
teoría intuitiva de conjuntos, notaciones, subconjuntos, sus operaciones y sus
aplicaciones. Para alcanzar los fines prácticos que nos interesan se completa
con bastante cantidad de ejemplos ilustrativos
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se
atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas
(puras) del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas
ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind.
CONCEPTO Y NOTACIÓN DE CONJUNTO
En el lenguaje corriente, empleamos el vocablo conjunto
para referirnos a una pluralidad o colectividad de objetos que se consideran
agrupados formando un todo. Por ejemplo, conjunto de alumnos de una clase;
conjunto de letras del abecedario; conjunto de escritores nacionales, etc. De
esta noción de pluralidad contrapuesta a la de singularidad ha surgido el
concepto matemático de conjunto. Los ejemplos recién mencionados bastan por
ahora para tener una idea de dicho concepto. Lo esencial de dichas situaciones
es la presencia de elementos o miembros del conjunto, los mismos se les denota
usualmente por letras minúsculas como a, b, c,..., y los conjuntos se denotan
por lo común mediante letras mayúsculas como A, B, C, .... Otros símbolos de
uso frecuente son:
Como acabas de ver, es posible representar gráficamente los
conjuntos a través de diagramas de Venn. Para trabajar con ellos es
necesario poder representarlos también con el lenguaje propio de la matemática.
Se usan los corchetes para representar y definir conjuntos. En el
interior de los corchetes se ubican los elementos que conforman el conjunto
separado por comas. Esta representación escrita es equivalente a la
representación gráfica de diagramas de Venn.
Si por ejemplo se quiere definir el conjunto como el
conformado por los elementos , , , y se puede
representar de las siguientes formas
Descripción de
conjuntos por extensión
Para describir los elementos de un determinado conjunto los
puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por
extensión. Definamos como el conjunto conformado por los colores del arco
iris, en este caso podemos describir el conjunto por extensión así:
Si un conjunto tiene muchos elementos puedes hacer uso de
los puntos suspensivos para describir el conjunto por extensión. Por
ejemplo, si el conjunto está conformado por los cien primeros números
enteros, puedes representarlo de la siguiente manera:
En este caso no se muestran los cien elementos que conforman
el conjunto. Sin embargo, los puntos suspensivos representan todos los
elementos que, por comodidad, no hemos escrito.
Descripción de
conjuntos por comprensión
En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada
cantidad de elementos y la descripción por extensión resultaría muy ardua. Se
puede entonces describir los conjuntos mencionando las características que comparten
los elementos que los conforman. Por ejemplo, si es el conjunto
conformado por todos los países del mundo se puede escribir:
En donde la barra | se lee como “tales que”.
Así, la anterior expresión se lee: “ es el conjunto de
los tales que es un país”. En este caso el símbolo
es usado simplemente para representar los elementos del conjunto .
Clases de conjuntos
Existen varios tipos de conjuntos que se destacan por sus
características especiales. Conocerlos te ayudará a comprender mejor la
estructura y el mundo de los conjuntos
Conjunto Universal
Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un
conjunto debemos especificar de dónde se están tomando los elementos que lo
conforman. Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos
estos elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto
universal. Usaremos siempre la letra para representar el
conjunto universal.
Por ejemplo, si quieres definir B como el
conjunto conformado por las vocales A e I, el conjunto
universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior se
muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación
entre el conjunto B y su conjunto universal U .
Observa que el conjunto universal puede tener exactamente
los elementos de los conjuntos que abarca o más.
Conjunto vacío
Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene
elementos, este es llamado conjunto vacío. Para representar
dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la
imagen de abajo:
También, haciendo uso de la descripción
por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los
corchetes {} . Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos
ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.
Conjuntos unitarios
El conjunto unitario se distingue por tener solo
un elemento. No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato,
un perro, un número, una letra o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento
es llamado conjunto unitario.
Conjuntos finitos
Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad
de elementos que posee. Un conjunto es finito si podemos contar la
cantidad de elementos que lo conforman.
Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma
castellano es finito porque en total son letras. En la imagen de la
derecha se muestran otros conjuntos finitos. Te puedes dar cuenta
que los conjuntos unitarios también son finitos.
Conjuntos infinitos
No es fácil encontrar en la naturaleza ejemplos de este
tipo de conjuntos. Los conjuntos infinitos son aquellos a los
cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen.
El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión.
Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del
conjunto y los estaremos determinando a todos. Considera el conjunto de
los números que terminan en tres, podríamos definirlo así: Sea
También existe una manera de representar algunos conjuntos
infinitos por extensión.
Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos
suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto,
definido en el párrafo anterior y conformado por los números que terminan en
tres, se tiene
Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos
los encontramos en los números. ¿Cuántos números pares hay? ¿cuántos
múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es porque
este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que
tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que
represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.
Igualdad de conjuntos
Conjunto de personas. El conjunto de «personas»
mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede
representarse mediante llaves o
mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas
en A es irrelevante.
Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos.
Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los
mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.
Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo
conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular
extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números
naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A′, el conjunto de los
números 1, 2, 3 y 4. También:
B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de
México}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
El orden en el que se precisan los elementos tampoco se
tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}
C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}
Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos»,
ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no
serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
{1, 2} = {1, 2, 1}
En ausencia de alguna característica adicional que distinga
los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que
«1» es uno de sus elementos.
Conjunto vacío
Conjunto
vacío
El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el
conjunto vacío y se denota por {\displaystyle
\emptyset } o
simplemente {}. Algunas teorías axiomáticas de conjuntos aseguran
que el conjunto vacío existe incluyendo un axioma del conjunto vacío. En otras
teorías, su existencia puede deducirse. Muchas posibles propiedades de
conjuntos son trivialmente válidas para el conjunto vacío.
Propiedades
En la teoría de conjuntos axiomática estándar,
por el Axioma de extensionalidad, dos conjuntos
son iguales si tienen los mismos elementos; por lo tanto solo puede haber un
conjunto sin ningún elemento. Por consiguiente, solo hay un único conjunto
vacío, y hablamos de "el conjunto vacío" en lugar de "un
conjunto vacío".
Para cualquier conjunto A:
(Ver operaciones con conjuntos)
El
conjunto vacío es un subconjunto de A:
La
unión de A con el conjunto vacío es A:
La
intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío:
El
producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío:
El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:
Su
único subconjunto es el propio conjunto vacío:
El
conjunto potencia del conjunto vacío es el conjunto que contiene
únicamente el conjunto vacío:
Su
número de elementos (cardinalidad) es cero:
(La lista de símbolos matemáticos empleados se
encuentra aquí).
Subconjuntos
Subconjunto
Subconjunto. B es un subconjunto de A (en
particular un subconjunto propio).
Un subconjunto A de un conjunto B, es un
conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si
cada elemento de A es a su vez un elemento de B.
Cuando A es
un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está
contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es
un superconjunto de A y también «B contiene a A»
o «B incluye a A».
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya
que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento
de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto
de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si
es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota
como A ⊊ B,
es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y
equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).n 2
Ejemplos.
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio
del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1,
2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1,
2, 3, 4}
Conjuntos disjuntos
Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos si no
tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos:
no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos
disjuntos es el conjunto vacío.
Cardinalidad
Número cardinal
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota
por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores,
se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres
colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal
es 0 es el conjunto vacío∅.
Existen, a su vez, determinadas propiedades de
cardinalidad. Si tomamos como ejemplo dos conjuntos, A y B:
En un conjunto infinito no hay un número finito de
elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, …}.
Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se
obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de
elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
Cardinalidad de los
reales
Número real
Uno de los resultados más importantes de Georg Cantor fue
que la cardinalidad de los reales ({\displaystyle
{\mathfrak {c}}}) es más grande que la de
los números naturales ({\displaystyle
\aleph _{0}}).
Esto es, que hay más números reales R que números enteros N.
Concretamente, Cantor mostró que .
La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos
con cardinalidades intermedias entre los naturales y
los reales:
No
existe ningún conjunto A tal que su cardinal |A| cumpla:
Si se asume el axioma de elección, la estructura de los
cardinales infinitos es más clara: todos los cardinales infinitos son álefs y están bien
ordenados, por lo que existe solo un cardinal inmediatamente
superior a ℵ0,
denotado por ℵ1. La
hipótesis es equivalente entonces a:
El
cardinal del conjunto de los números reales es el inmediatamente superior
al cardinal de los números naturales:
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Operaciones con conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Complemento
Diferencia simétrica
Álgebra de conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse,
partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
Unión:
(símbolo ∪)
La unión de dos conjuntos A y B,
que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
Intersección:
(símbolo ∩) La intersección de
dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de
los elementos comunes a A y B.
Diferencia:
(símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es
el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier
elemento que esté en B.
Complemento:
El complemento de
un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
Diferencia
simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con
todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero
no a ambos a la vez.
Producto
cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de
todos los pares ordenados (a, b) formados
con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo
elemento b perteneciente a B.
La lógica proposicional fue
finalmente refinada usando la lógica simbólica, se acreditó ser el fundador de
la lógica simbólica el matemático Gottfried Leibniz siglo XVII/XVIII, por su
trabajo ratiocinator del cálculo. Aunque su trabajo era unos de los primeros,
era desconocido para la comunidad lógica más grande. En consecuencia, muchos de
los avances logrados por Leibniz fueron recreados por lógicos como George Boole
y Augustus De Morgan completamente independientes a Leibniz.
Así como la lógica proposicional
puede considerarse un avance de la lógica silogísta anterior, la lógica de
predicados de Gottlob Frege era un avance de la lógica proposicional anterior.
Un autor describe esta lógica como la combinación de los rasgos distintivos de
la lógica silogística y la lógica proposicional. Por lo tanto, la lógica
predicativa marcó el comienzo de una nueva era en la historia de la lógica; sin
embargo, los avances en la lógica proposicional se hicieron aún después de
Frege, incluyendo Deducción Natural, Árboles de la Verdad y Tablas de Verdad.
La deducción natural fue inventada por Gerhard Gentzen y Jan Lukasiewicz. Los
árboles de la verdad fueron inventados por Evert Willem Beth. La invención de
las tablas de la verdad, sin embargo, es de atribución controvertida.
Dentro de las obras de Frege y
Bertrand Russell, hay ideas que influyen en la invención de las tablas de la
verdad. La estructura tabular real se acredita generalmente a Ludwig
Wittgenstein o a Emil Post ( o ambos independientemente). Adeám de Frege y
Russell, otros acreditados con ideas anteriores a las tablas de la verdad
incluyen a Philo, Boole, Charles Sanders Peirce. Otros acreditados de la
estructura tabular incluyen Lukasiewicz, Alfred North Whitehead, Guillermo
Stanley Jevons, John Venn, y Clarence Irving Lewis. En última instancia,
algunos han llegado a la conclusión, como John Shosky, de que " está lejos
de estar claro que a cualquier persona se le debe dar el título de 'inventor'
de las tablas de la verdad".
Proposiciones y
Conectivos Lógicos
En un intento por sistematizar el razonamiento matemático,
surge el concepto de Lógica Proposicional. Como su nombre lo explícita,
trabajaremos con proposiciones lógicas; las cuales poseen un valor de verdad
(verdadero o falso). Por convención, las denotaremos con
letras minúsculas. Por ejemplo; p,q,r,s.p,q,r,s.
La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos
y formas de| razonamiento humano. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un
argumento es válido o no. Una de las metas fundamentales de la lógica es
eliminar las ambigüedades del lenguaje ordinario. introduciendo símbolos y
conectivos lógicos en la construcción de proposiciones.
Definición
una proposición es toda oración o enunciado respecto de la
cual se puede decir si es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Es decir,
toda proposición está asociada a un valor de verdad, la cual puede ser
verdadera o bien falsa. Así, si una proposición es verdadera. se dice que su
valor de verdad es V y si es falsa, se dice que su valor de verdad es F.
Notación y
conectivos lógicos
En lógica, una conectiva lógica, o
también conectiva (también llamado operador o conectores lógicos)
es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos fórmulas bien
formadas o sentencias (atómicas o moleculares), de modo que el valor
de verada de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas
componentes
operaciones
proposicionales
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones
entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.
LA NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee
“no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que
niega que se cumpla p.
LA CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ù q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero
cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.
NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”,
“además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ” Ù “
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú q”
y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás
casos siempre es verdadero.
LA CONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p
implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el
primero es verdadero y el segundo es falso, en los demás casos siempre es
verdadero. ( p = antecedente y q = consecuente)
LA BICONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p « q” y se lee “p si y solo si q”, es
verdadero cuando los valores de verdad son iguales y es falso cuando los dos
valores de verdad son diferentes.
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p, q se escribe “p D q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso
si los valores de verdad de las proposiciones son iguales y es verdadero si los
valores de verdad de las proposiciones son diferentes.
TAUTOLOGÍA
Llamamos tautología si en la columna resultado todos los
valores son verdaderos
CONTRADICCIÓN
Llamamos contradicción si en la columna resultado todos los
valores son falsos.
CONTINGENCIA
Llamamos contingencia si en la columna resultado se
encuentra verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o cuántos
falsos existan, es suficiente que se encuentren ambos.
IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS
IMPLICACIÓN LÓGICA
Se llama implicación lógica o simplemente implicación a
toda condicional p ® q que
sea tautología. Ejemplo: Verifica si la siguiente condicional es una
implicación lógica: [(p ® q) Ù ~ q]® ~ p
En la columna resultado se observa los valores de verdad,
en este caso todos son verdaderos. Entonces, afirmamos que la condicional es
tautología, por tanto, es una implicación lógica. Si en la columna resultado se
obtiene contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica.
EQUIVALENCIA LÓGICA
Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a todo
bicondicional p «
q que sea tautología. Ejemplo: Verifica si el siguiente bicondicional es una
equivalencia lógica: [p Ù (p Ú q)]« p
Como se verifica que el
resultado de la bicondicional, es tautología, afirmamos que es una equivalencia
lógica.
Entonces, podemos afirmar
que: [p Ù (p Ú q)]º p
LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes
lógicas. Existen infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos
algunas a las que llamaremos leyes del álgebra proposicional
Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de
proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de una
proposición. Además, se utiliza en la simplificación de proposiciones
compuestas.
LA INFERENCIA O ARGUMENTO LÓGICOS
Se llama inferencia lógica o argumento lógico a toda
condicional de la forma: (p1Ù p2 Ù … Ù pk ) ® q donde las proposiciones p1,
p2, … pk son llamadas premisas, y originan como consecuencia otra proposición
denotada por q llamada conclusión. Una inferencia puede ser tautología,
contingencia o contradicción. Si la condicional es una tautología, es decir si
es una implicación entonces recibe el nombre de argumento o inferencia válidos.
Si la condicional no es una tautología entonces se denomina falacia o
simplemente argumento no válido.
o
simplemente {}. Algunas 
