RELACIONES

 

Relaciones

 

Introducción

En este capítulo nos proponemos precisar en términos matemáticos el concepto y la definición de la relación. Asimismo, desarrollaremos distintas propiedades de las relaciones que nos permitirán advertir que ciertas relaciones referentes a cuestiones muy distintas pueden sin embargo tener caracteres análogos. Por último, estudiaremos dos tipos de relaciones especialmente importantes: las relaciones de equivalencia y de orden

RELACIONES

En la matemática, como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relaciones entre dos objetos: en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. Por esto, es necesario formular la noción general de relaciones entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una regla, fórmula o propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto A de las materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los créditos de las materias sin laboratorio, es decir:

A: {u, b, c, d, e} y B: {4, 5,6,7}

Es claro que los elementos de A quedan asociados con los del conjunto B mediante la propiedad.

P(x, y) : "x tiene crédito y"

Es decir, una relación R consiste en todos los pares ordenados (x, y) A x B tales que x tiene crédito y, Esto es, si en un semestre determinado y para un cstutjrante cn particular queda establecido el siguiente esquema (diagrama de Venn).

entonces la relación o correspondencia es el conjunto de pares ordenados R: {(u,6), (b,5), (c,5), (e,7)} Nótese, que la materia d no tiene ningún correspondiente en B, consideramos que la materia tiene laboratorio y su crédito es mayor a los citados en B. Nótese también que la relación establecida es sencillamente un subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir, R c A x B. En gráfico cartesiano se tiene:

 

Es claro que la relación establecida no es única ya que se relaciones (correspondencias) entre los conjuntos A y B. Ahora consideremos los conjuntos:

A: {1,2,3\ , B: {a, b, c} y RcAxB,

 siendo R: {(1, b) , (2, b) , (3, c)}

 

DEFINICIÓN

Sean A y B dos conjuntos.

Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. Es decir:

R es una relación de A en B

Se dice que "x está relacionado con y por R" y se escribe x R y sí (x, y) e R.

Si (x, y) É R, si puede escribir *ly , y se lee "x no está relacionado con y por R".

 Ejemplo: Sean A = {1.2.3\ y B: {a, b} Entonces AxB : {(1, a), (1, b), (2. a), (2,b), (3, a), (3, b)} luego. R: {(l.a). (2.b). (3. b)} es una relación de A en B, ya que R c AxB En gráfico cartesiano se tien

 

 

 

 

DOMINIO, IMAGEN, RELACIÓN INVERSA

Si R c AxB es una relación de A en B. existen dos importantes conjuntos asociados a esta relación: dominio e imagen de R. A continuación, se darán las definiciones de estos conjuntos y de la relación inversa.

DOMINIO DE R El dominio de R. que se escribe D(R). es el conjunto de elementos en A que están relacionados con algún elemento en B. En otras palabras. el D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares (x. y) e R. Es decir

D(R):{xeA/(x.y)eR}

IMAGEN DE R El Imagen (rango o recorrido) de R. que se escribe I(R). es el conjunto de elementos en B que son los segundos elementos de los pares (x. y) c R. esto es. todos los elementos en B que están relacionados con algún elemento en A. Es decir

I(R): {y e B/(x.y) e R}

Ejemplo: Sean los conjuntos A: fl.3.5.7.9) -v B:{2.4.6.8) Se define la siguiente relación R (divisor) de A en B: xR1'exly

Ejemplo: Sean los conjuntos A: {1,2,3,4,5\ y B: {5, 6,7,8,9} Se define la siguiente relación R (mayor que) de A en B: xRy<+x>y la relación es un subconjunto de AxB y está formado por los pares ordenados (x, y) tales que x>y. Pero ningún elemento de A es mayor que ninguno de B. En este caso se obtiene la relación varía $. Es decir

RELACION INVERSA

La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en B es la relación R'l de B en A que se define como

RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Una relación R definida en un conjunto A es de orden total si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplo 8.25: si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación “ser menor o igual que”, entonces R es de orden total

 

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento está relacionado consigo mismo. Si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva o es irreflexiva.

 

RELACIONES REFLEXIVAS

Se dice que una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales

 

RELACIONES ARREFLEXIVAS

Una relación binaria: R, entre los elementos de un conjunto: A, es una relación irreflexiva,​​​ también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo: Para todo a que pertenezca a A, (a,a) no pertenece R.

 

RELACIONES SIMETRICAS

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica​​​ cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con él, a través de la misma "R". Es lo mismo tener (a,b) que tener (b,a).

 

RELACIONES NO SIMÉTRICAS

Una relación R, definida en un conjunto A, es no simétrica si existe algún par (x, y) en la relación, pero su transpuesta (y, x) no pertengce a ella. Es decir,

 

 

 

RELACIONES ASIMÉTRICAS

Se dice que una relación R en un conjunto A es asimétrica si un par (x, y) pertenece a la relación, entonces su transpuesta (y, x) no pertenece a ella. Es decir,